Nach Überlegungen des deutschen Mathematikers Georg Cantor gibt es in einem gewissen Sinne mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen - obwohl es von beiden Arten unendlich viele gibt. Der Mathematiker spricht von abzählbar (denumerable) unendlich vielen natürlichen Zahlen und im Gegensatz dazu von überabzählbar (nondenumerable) unendlich vielen reellen Zahlen.
Weitere Überlegungen zeigen, dass es somit zwei verschiedene Arten von reellen Zahlen geben muss:
Von der ersten Art gibt es „nur“ abzählbar unendlich viele. Ich nenne sie angebbare reelle Zahlen (nameable number). Es handelt sich dabei um alle rationalen, um alle algebraischen und um einen Teil der transzendenten reellen Zahlen. Nur diese Zahlen können vom Mensch oder Mathematiker in einer definitiven Form angegeben werden. Zu diesen Zahlen gehören Zahlen wie -1, 0, 1, 2, 3, ½, 1/3, 0.7859 oder 0.9999... , aber auch irrationale algebraische Zahlen wie √2, √3 oder transzendentale Zahlen wie Pi, e, Phi und überhaupt alle Zahlen oder Angaben die einen exakten Punkt auf der reellen Zahlengerade eindeutig und exakt bezeichnen.
Die zweite Art macht die Unzahl der überabzählbar vielen reellen Zahlen aus. Es handelt sich bei ihnen nach heutiger Definition ausschließlich um transzendente Zahlen. Ich nenne sie unangebbare Zahlen (unnameable number) da keine von ihnen auf eine eindeutige Weise bezeichnet oder angegeben werden könnte. Bestände die Möglichkeit einen exakten Punkt auf der reellen Zahlengerade durch einen Zufallsprozess auszuwählen, und zwar so, dass jeder Punkt der reellen Zahlengerade mit gleich großer Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden könnte, dann wäre die Wahrscheinlichkeit dass dieser Punkt durch eine unangebbare reelle Zahl bezeichnet werden würde 1 (es wäre sicher eine unangebbare Zahl), die Wahrscheinlich dass dieser Punkt durch eine angebbare reelle Zahl bezeichnet werden würde wäre 0 (es wäre sicher keine angebbare Zahl). Überspitzt formuliert besteht die reelle Zahlengerade fast nur (nämlich zu 100%) aus Punkten zu denen wir keine Zahlen zuordnen können, auf die wir nicht verweisen können, mit denen wir nichts anfangen können.
Der moderne Mathematiker ist nun aber doch gezwungen, wenn er schon nicht eine solche unangebbare Zahl fassen kann, doch wenigsten ein Gedankenmodell zu entwickeln, wie eine solche Zahl auszusehen hätte. Da diese Zahlen irrational sein müsssen würde eine solche Zahl in einer Stellenschreibweise (z.B. in der Dezimalschreibweise) unendlich viel Nachkommastellen besitzen wie alle irrationalen Zahlen. Worin kann sich nun eine solche unangebbare irrationale Zahl von einer angebbaren irrationalen Zahl wie z.B. von der Zahl Pi unterscheiden? Die ersten Stellen der Zahl Pi z.B. in der Dezimalstellenschreibweise lauten 3.14159265... . Diese Nachkommstellen sind berechenbar, sie folgen einem Ordnungsprinzip das in der Definition und dem Berechnungsalgorithmus der Zahl Pi festgelegt ist. Die Ziffern scheinen zwar in einer zufälligen Anordnung aufeinander zu folgen, sie sind aber tatsächlich streng determiniert. Jedes Wesen und jeder Computer der das Verhältnis von Kreisradius zu Kreisumfang richtig berechnet kommt zu demselben, eindeutigen Ergebnis.
Eine unangebbare reelle Zahl sähe auf den ersten Blick genau so aus wie eine angebbare reelle Zahl. Ja, wir würden eine solche gar nicht als unangebbar erkennen können wenn sie uns in irgendeiner Form angegeben werden könnte (was natürlich auch sehr paradox wäre). Das Wesen einer solchen Zahl wäre, dass wir die Stellen nicht berechnen könnten. (Wir wüssten allerdings nicht, ob es an unserer momentanen Unkenntnis oder an der Unmöglichkeit der Kenntnis läge.) Während eine angebbare Zahl in einer endlichen Menge von Information vorliegen kann (z.B. in Form eines endlichen Algorithmus) benötigte man um eine unangebbare Zahl zu kennen notwendig eine unendliche Menge von Information. Eine unangebbare Zahl ist also für uns in keiner Weise erkennbar. Dies bedeutet aber zum Beispiel auch, dass wir keine geometrische Konstruktion angeben können um eine unangebbare Zahl auf einem reellen Zahlenstrahl zu markieren. Obwohl der Zahlenstrahl fast nur aus diesen Zahlen besteht, können wir auf keine von ihnen deuten. Eine unangebbare Zahl ist für uns also auch in keiner Weise greifbar.
Diese und nochh andere irritierende Befunde werden von den meisten Mathematikern einfach hingenommen, da zum einen bisher keine Widersprüche aus dem zugrunde liegenden Axiomensystem abgeleitet werden konnte und zum anderen weil die Mathematik im Rahmen dieses Systemes "funktioniert".
Ich möchte mit den folgenden Seiten darauf hinweisen, dass es noch weitere Kriterien gibt als die Widerspruchsfreiheit eines Axiomensystemes, um ein solches System zu qualifizieren. Und dass es vielleicht notwendig ist die Ergebnisse von G. Cantor et al. in einem viel stärkeren Maße zu hinterfragen wie es heute in der Mathematik der Fall ist.
***In Arbeit*** Albrecht Storz, Mannheim, den 14.10.2008
